Matrizenmechanik

Matrizenmechanik, Bezeichnung für die erste mathematisch-physikalische Formulierung der Quantentheorie.

Die Matrizenmechanik wurde 1925 von Werner Heisenberg während seines Kuraufenthaltes auf der Insel Helgoland entworfen – der Physiker litt unter Heuschnupfen. Heisenberg behandelte die „Quantisierung“ eines bestimmten physikalischen Systems, des anharmonischen Oszillators, mit einer ganz neuen Strategie, indem er Zahlenschemata, Quadrate mit z. B. zehn Zeilen und zehn Spalten, in denen auf jedem der (hier 100) Plätze eine Zahl eingetragen ist, mit zeitabhängigen komplexen Zahlen einführte und diese nach gewissen Regeln addierte und multiplizierte, wobei diese Regeln sich aus dem Ziel ergaben, das diskrete Energiespektrum des Wasserstoffatoms (so genannte Balmer-Serie) in diesen Zahlenschemata reproduzieren zu können.

Heisenbergs Lehrer Max Born erkannte in dem Entwurf die Matrizenrechnung der Linearen Algebra, die durch den Mathematiker Arthur Cayley 1858 Verbreitung gefunden hatte, und die heute Teil der Grundausbildung aller mathematisch orientierten Studenten ist. Der Ansatz von Heisenberg wurde von Born, Pasqual Jordan und Heisenberg zu einer Theorie entwickelt, die auf Vertauschungsrelationen von so genannten Observablen – die die „Messgrößen“ der Quantenmechanik repräsentieren sollten – basiert. Matrizen können nämlich als „verallgemeinerte Zahlen“ gesehen werden, deren Multiplikation nicht vertauscht (nicht kommutativ ist, im mathematischen Sprachgebrauch), d. h. AB≠BA.

Die Nichtvertauschbarkeit ist leicht zu veranschaulichen, wenn man Matrizen als Vertreter für lineare Abbildungen des Raumes, z. B. Drehungen, Streckungen und ähnliches interpretiert, so dass die Multiplikation der Hintereinanderausführung entspricht. Man betrachte dann etwa die Hintereinanderausführung der Drehung der Ebene um 90 Grad und der Spiegelung an der x-Achse: ein Punkt auf der positiven Hälfte der x-Achse wandert durch die Drehung auf die positive Hälfte der y-Achse und durch anschließende Spiegelung auf die negative Hälfte der y-Achse. Bei umgekehrter Reihenfolge hingegen landet derselbe Ausgangspunkt auf der positiven Hälfte der y-Achse. Die zugehörigen Matrizen vertauschen also nicht bei Multiplikation.

Eine Konsequenz der Vertauschungsrelation ist die Heisenberg’sche Unschärferelation, nach der nicht vertauschende Observable nicht simultan scharf gemessen werden können. In der Matrizenmechanik betrifft das z. B. den Ort und den Impuls eines Elektrons.

Die Matrizenmechanik stand in der Anfangszeit in Konkurrenz zur Wellenmechanik, die Erwin Schrödinger 1926 entwickelt hatte. 1927, also nur ein Jahr später, gelang es Schrödinger mit Hilfe des Born’schen statistischen Gesetzes für die Wellenfunktion nachzuweisen, dass die Matrizenmechanik nur eine spezielle Form der Wellenmechanik ist. In der Sprache der heutigen Quantentheorie spricht man nicht mehr von Matrizen, sondern allgemeiner von Operatoren oder Observablen. Der alte „Äquivalenzbeweis“ Schrödingers gerät dabei manchmal in Vergessenheit, weil kein klares Verständnis darüber herrscht, dass diese Operatoren keine zusätzlichen Elemente der Beschreibung sind, sondern sich aus der Wellenmechanik, insbesondere der Schrödinger’schen Zeitentwicklung der Wellenfunktion und dem Born’schen statistischen Gesetz ergeben.