Quantentheorie

Quantentheorie, allgemein die Bezeichnung für die Theorie über mikrophysikalische Phänomene. Kernaussage der Quantentheorie ist, dass Vorgänge in der Natur nicht kontinuierlich sondern sprunghaft erfolgen. Ferner sind diese Vorgänge nicht beliebig genau vorhersagbar, sondern es sind nur Aussagen über die Wahrscheinlichkeit des Eintretens gewisser Ereignisse möglich. Diese Quantisierung tritt jedoch erst bei der Beobachtung molekularer, atomarer oder subatomarer Systeme in Erscheinung.

Die Quantentheorie ist eine der wichtigsten Theorien der modernen Physik, weil sie durch ihre Fähigkeit, Vorgänge in der atomaren Welt korrekt zu beschreiben, viele technische Entwicklungen erst möglich gemacht hat, wie z. B. Kernenergie, Laser, Kernspintomographie und den Halbleitertransistor, ohne den unsere heutige computerisierte Welt nicht möglich wäre.

Die Quantentheorie nahm ihren Anfang im Jahr 1900, als Max Planck die der klassischen Physik fremde Quantenhypothese einführte, um das Spektrum des so genannten schwarzen Strahlers zu erklären. Unter einem schwarzen Strahler versteht man eine Lichtquelle, die allein aufgrund ihrer thermischen Wärmeentwicklung Licht abstrahlt, d. h., insbesondere kein Licht reflektiert (die Sonne ist z. B. ein idealer schwarzer Strahler). Versuche, die Strahlungseigenschaften des schwarzen Strahlers aus den bis dahin bekannten thermodynamischen und elektrodynamischen Gesetzen zu erklären, waren allesamt erfolglos. Inhalt der Quantenhypothese war, dass Licht nicht kontinuierlich in beliebig großen Energieportionen abgestrahlt wird, sondern nur als ganzzahliges Vielfaches eines Energiequants hf. Dabei ist f die Frequenz der Lichtstrahlung und h eine neue Naturkonstante:

h = 6,026 × 10-34 Joulesekunden (abgekürzt: Js).

Diese Naturkonstante h ist als Planck’sches Wirkungsquantum bekannt, da ihre Einheit die so genannte Wirkung ist, welche als Produkt aus Energie (J = Joule) und Zeit (s = Sekunde) definiert ist.

Der Erfolg der Quantenhypothese bei der Erklärung des schwarzen Strahlers mittels der Planck’schen Strahlungsformel war ein wichtiger Schritt zur Lösung eines weiteren Erklärungnotstandes der Physik: dem Photoeffekt. Beleuchtet man eine negativ aufgeladene Metallplatte mit Licht, so werden Elektronen herausgeschlagen und die negative Ladung der Platte nimmt ab. Die experimentelle Beobachtung war nun, dass die Energie der herausgeschlagenen Elektronen nur von der Frequenz des auslösenden Lichts, ihre Anzahl nur von der Intensität dieses Lichts abhängt. Die klassische Lichttheorie, in Form der Maxwell’schen Gleichungen (siehe Physik: Elektrodynamik und Elektromagnetismus) der klassischen Elektrodynamik, hatte den entscheidenden Einfluss auf die Elektronenenergie von der Lichtintensität erwartet.

1905 war es Albert Einstein, der den Widerspruch löste, indem er annahm, dass für das Herausschlagen der Elektronen, gemäß der Quantenhypothese, nur ganze Lichtenergiebeiträge der Größe hf zur Verfügung stehen. Die kinetische Energie der herausgeschlagenen Elektronen gab Einstein somit folgerichtig an mit:

EKin = hf - WAus

Dabei ist W_Aus die vom Elektron zu überwindende Austrittsarbeit, die zum Verlassen der Metallplatte nötig ist. Diese Gleichung ist als Einstein’sche Gleichung bekannt und bedeutet, dass die Energie des Lichts in einer Art von Lichtteilchen, Photonen genannt, gebündelt ist. Zunächst stand Einstein mit seiner These von der Existenz der Photonen allein. Als Arthur H. Compton 1922 in einem Experiment jedoch Röntgenstrahlung an Elektronen streute und dabei beobachtete, dass sich die Frequenz der gestreuten Röntgenstrahlung verringerte, konnte diese Beobachtung nur mit der Vorstellung der Röntgenstrahlung als Photonen unter Zuhilfenahme des Gesetzes der Impulserhaltung erklärt werden (siehe Impuls).

Die Tatsache, dass man für die Beschreibung mancher Phänomene, wie der Interferenz, die Wellennatur des Lichts heranziehen muss, für andere, wie dem Photoeffekt und dem Compton-Effekt, dagegen die Teilchennatur, wurde als Welle-Teilchen-Dualismus bezeichnet.

Diese Problematik verschärfte sich, als 1923 Louis de Broglie sich fragte: Wenn Wellen Teilchencharakter haben können, warum sollen Teilchen wie Elektronen oder Protonen nicht auch Wellencharakter besitzen. Auf dieser Annahme aufbauend postulierte de Broglie die Existenz so genannter Materiewellen und ordnete diesen eine Wellenlänge zu:

λ = h/p

wobei p den Impuls (Masse × Geschwindigkeit) des Teilchens darstellt. Diese postulierte Welleneigenschaft von Teilchen konnte tatsächlich experimentell gezeigt werden, z. B. durch Beugung von Elektronen am Doppelspalt (siehe Optik: Interferenz und Beugung). In diesem Zusammenhang sei zunächst das Phänomen an einem Spalt (in diesem Beispiel Spalt 1) beschrieben:

Schickt man Elektronen durch einen feinen Spalt (Spalt 1), lässt sich auf einer hinter dem Spalt stehenden Detektorfläche eine Intensitätsverteilung I₁ mit einem einzigen Intensitätsmaximum erhalten. Dies kann man sich im Billardkugelmodell dadurch erklären, dass einige Elektronen auf die Ränder des Spaltes treffen und abgelenkt werden.

Nun das Phänomen am Doppelspalt:

Wie für Spalt 1 ergibt sich auch für einen sehr nahe gelegenen zweiten Spalt (Spalt 2) das gleiche Bild – in diesem Falle eine Intensitätsverteilung I₂. Verhalten sich Elektronen gemäß der klassischen Vorstellung wie Billardkugeln, so ist die Erwartung, dass sich beide Intensitätsmuster einfach addieren zu I₁ + I₂, man würde also eine ähnliche Verteilung mit nur einem Maximum sehen.

Die experimentelle Beobachtung ist jedoch ganz anders, man erhält eine Intensitätsverteilung mit mehreren unterschiedlich stark ausgeprägten Intensitätsmaxima und -minima. Bildlich gesprochen verstärken sich an einigen Stellen die Intensitäten (Maxima), während sie sich an anderen Stellen abschwächen (Minima). Die Elektronen erzeugen demnach wie Licht ein Interferenzbild, d. h. sie besitzen Wellencharakter. Dieser bei Licht und atomaren Teilchen auftretende Welle-Teilchen-Dualismus hat die Entwicklung der Quantenmechanik angestoßen, um u. a. diesen scheinbaren Widerspruch aufzulösen.

Die Quantenmechanik sagt aus, dass für die Eigenschaften eines atomaren Teilchens, wie Ort, Impuls, Energie und Zeit, keine beliebig genauen Aussagen gemacht werden können, sondern nur noch die Wahrscheinlichkeiten, mit denen bestimmte Ereignisse eintreten, angegeben werden können.

Im Beispiel der Elektronenbeugung am Doppelspalt bedeutet dies, dass für ein Elektron, welches in Richtung Doppelspalt losgeschickt wird, nicht vorhergesagt werden kann, an welchem Ort der Detektorfläche dieses Elektron auftreffen wird. Nur die Wahrscheinlichkeit, mit dem das Elektron an einem bestimmten Detektorort ankommen wird, kann vorhergesagt werden. Da die Wahrscheinlichkeit als die relative Häufigkeit eines Ereignisses definiert ist, ist die Quantenmechanik in der Lage, das resultierende Interferenzbild vorherzusagen.

Die Bestimmung dieser Wahrscheinlichkeiten erfolgt über die 1926 erstmalig von Erwin Schrödinger angegebene Schrödingergleichung:

Dabei stellt der Term

die kinetische Energie und V(x) die potentielle Energie des Teilchens dar. Die Lösungen haben stets die Form einer Wellenfunktion, d. h. sie haben die gleiche Form wie die Funktionen, mit denen Wasser- und Schallwellen beschrieben werden. Der Formelausdruck Ψ(x, t) stellt jedoch lediglich die Amplitude der Wahrscheinlichkeitsdichte dar, d. h. erst das Betragsquadrat |Ψ(x, t)|² gibt die gesuchte Wahrscheinlichkeitsdichte an. Um die Wahrscheinlichkeit P zu ermitteln (z. B. ein Elektron auf der Detektorfläche beim Doppelspaltversuch in einem Ortsintervall vorzufinden), wird über das betrachtete Ortsintervall [x, x + Δx] und Zeitintervall (hier [-∞, +∞]) integriert:

Dass das Betragsquadrat der Wellenfunktion |Ψ(x, t)|² die Wahrscheinlichkeitsdichte darstellt, ist ein unbewiesenes Postulat der Quantenmechanik, wird jedoch durch alle bisher bekannten experimentellen Beobachtungen bestätigt.

Aus dem mathematischen Formalismus der Quantenmechanik folgen mehrere interessante und im Vergleich zur klassischen Physik überraschende Ergebnisse. Erwähnt seien hier nur die bekanntesten Beispiele der Heisenberg’schen Unschärferelation sowie des Tunneleffekts (siehe Mikroskop: Sondenrastermikroskop).

Die von Werner Heisenberg entdeckte und nach ihm benannte Unschärferelation sagt aus, daß der Ort und der Impuls eines quantenmechanischen Teilchens, wie eines Elektrons, nicht beliebig genau bestimmt werden können. Mathematisch ausgedrückt lautet dieser Sachverhalt:

Je genauer der Ort x z. B. eines Elektrons bekannt ist, d. h. je kleiner Δx, desto ungenauer ist die Kenntnis über den Impuls p, d. h. desto größer Δp. Dies bedeutet insbesondere, dass wenn der Ort eines Elektrons beliebig genau bekannt ist, überhaupt keine Vorhersage gemacht werden kann, wo es sich im nächsten Augenblick befinden wird. Diese Einschränkung der Heisenberg’schen Unschärferelation ist nicht etwa auf unzureichende Messinstrumente zurückzuführen, sondern haftet der Natur der Sache selbst an.

Als Tunneleffekt ist die Tatsache bekannt, dass sich ein atomares Teilchen nicht beliebig lange in einem endlich großem Potential einsperren läßt; z. B. ein Elektron im Potential einer positiven Ladung. Als Lösung der Schrödingergleichung, für den Fall eines solchen linearen Potentialtopfs, ergibt sich eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion Ψ(x, t), die für Orte außerhalb des Potentialtopfes zwar eine sehr kleine aber doch von Null verschiedene Aufenthaltswahrscheinlichkeit vorgibt. Findet man nun ein zunächst im Potentialtopf eingesperrtes Elektron außerhalb des Potentialtopfes wieder, so sagt man, dass Elektron sei „getunnelt”. Dieser Effekt wird in einem technisch sehr wichtigen Meßgerät, dem so genannten Raster-Tunnel-Mikroskop, angewandt (siehe Mikroskop).