Potential

Potential, in der Newton’schen Mechanik treten in der Regel solche Kraftfelder auf, die sich als Ableitung schreiben lassen. Die Funktion, deren Ableitung sie sind (siehe Differentialgleichung), bezeichnet man als Potential.

Das Potential lässt sich auf zweierlei Weise deuten: als abstrakte Funktion auf dem so genannten Konfigurationsraum (d. h. abhängig von den Positionen aller Teilchen) oder als Feld im dreidimensionalen Raum. Der Konfigurationsraum ist ein mathematischer Raum, in dem die Ortskoordinaten aller Teilchen abgetragen werden.

Das Potential als Funktion auf dem Konfigurationsraum gibt die potentielle Energie einer Konfiguration an. Beispielsweise schreibt die Newton’sche Mechanik einem Ball eine potentielle Energie (E_pot) zu, die seiner Höhe proportional ist. Fällt der Ball herab, so verliert er an potentieller Energie, gewinnt dabei aber an kinetischer Energie (E_kin, Bewegungsenergie), so dass die Gesamtenergie (E_ges = E_pot + E_kin) die ganze Zeit über konstant bleibt, wenn nicht durch Reibung Energie an die Umwelt abgegeben wird. Man sagt, die Gesamtenergie sei eine Erhaltungsgröße. Dieser Umstand ermöglicht einige einfache Vorhersagen, z. B. dass der Ball nach dem Rückprallen vom Boden wieder auf dieselbe Höhe steigen wird. Kraftfelder, die sich als Ableitung einer Potentialfunktion schreiben lassen, sind etwa die Schwerkraft und die elektrostatische Abstoßung. Kräfte, die kein Potential besitzen, sind etwa Reibungskräfte und magnetische Kräfte.

Im Fall einer Kugel, die auf einer gekrümmten Fläche rollt, ist das (Schwerkraft-)Potential proportional der Höhe; eine Potentialfunktion kann daher oft durch eine Fläche (auf der eben eine Kugel unter Schwerkrafteinfluss rollt) veranschaulicht werden, ein „Potentialgebirge”. Im Fall eines Pendels ist diese Fläche halbkugelförmig, im Fall des Gravitationsfeldes der Sonne trichterförmig. Gleichgewichtspunkte gibt es dort, wo die Kugel liegen kann, ohne wegzurollen, also überall außer am Abhang. In einer „Mulde” liegt ein stabiles Gleichgewicht vor, auf einem „Gipfel” ein instabiles; d. h., wenn man die Kugel ein wenig aus der Gleichgewichtslage stört, so schwingt sie um ein stabiles Gleichgewicht herum, während sie von einem instabilen Gleichgewicht aus auf Nimmerwiedersehen verschwindet. Die Gesamtenergie der Kugel liegt in einer bestimmten Höhe. Diese Höhe kann sie nicht überschreiten, denn immer wenn sie diese Höhe erreicht, ist die potentielle Energie gleich der Gesamtenergie, folglich ist die kinetische Energie und damit auch die Geschwindigkeit Null, und die Kugel muss umkehren und sich bergab begeben. Tatsächlich kann man auf diese Weise in jeder Höhe berechnen, wie schnell sich die Kugel bewegt (denn kinetische Energie = Gesamtenergie minus Potential). Sie kann in einen „Talkessel” eingeschlossen sein, wenn die Gesamtenergie niedriger ist als die Höhe des umgebenden Gebirges. Ebenso lässt sich aus der Gesamtenergie ablesen, ob die Kugel einen „Potentialwall” überwinden kann oder nicht.

Das Potential als Feld im dreidimensionalen Raum entsteht aus der Potentialfunktion durch eine mathematische Uminterpretation. Dies ist insbesondere im Fall der Gravitation und der elektrostatischen Kräfte möglich. Das Potential hat dann an jedem Punkt des Raumes (und zu jeder Zeit) einen Zahlenwert, der angibt, welche potentielle Energie ein Testpartikel an dieser Stelle pro Massen- bzw. Ladungseinheit hätte. Man kann dieses Potentialfeld als ein eigenständiges physikalisches Objekt neben der Materie betrachten (siehe elektrisches Feld). Die elektrische Spannung zwischen zwei Punkten ist nichts anderes als die Differenz der beiden elektrischen Potentiale.

Für Magnetfelder ist eine neue Art von Potentialen nötig, die so genannten Vektorpotentiale.

Potentiale sind nicht direkt messbar, nur die Differenz der Potentiale an zwei Orten. Dem entspricht mathematisch, dass man den Potential-Nullpunkt frei wählen kann. Eine beliebte Wahl ist, das Potential im Unendlichen gegen Null gehen zu lassen (wenn das möglich ist).

In der Quantenmechanik macht der Begriff des Potentials überraschenderweise immer noch einen Sinn (in der Schrödinger-Gleichung kommt ausdrücklich eine Potentialfunktion vor), wenngleich der Begriff der Gesamtenergie nur noch in bestimmten Fällen eine klare Bedeutung hat. In der Quantenmechanik kann ein Teilchen einen Potentialwall überwinden, der höher ist als die Gesamtenergie (was bei Newton verboten ist); diese Art der Bewegung nennt man „tunneln”, und den Umstand, dass es das gibt, den Tunneleffekt. Er spielt eine Rolle beim radioaktiven Alphazerfall (siehe Radioaktivität; Alphateilchen) und natürlich beim Rastertunnelmikroskop. Das Phänomen des Tunnelns ist im Grunde ein einfaches Wellenphänomen, denn die quantenmechanische Wellenfunktion verhält sich in vielen Fällen wie eine Welle, und das Potential in der Quantenmechanik hat eine analoge Rolle wie eine Untiefe bei einer Wasserwelle.