Tensor

Tensor, eine Art von geometrischer Größe. Mathematisch zählt die Tensorrechnung zur linearen Algebra, in der Physik treten Tensoren in den verschiedensten Zusammenhängen auf. Es gibt Definitionen des Begriffes „Tensor” auf sehr unterschiedlichem Abstraktionsniveau.

Man unterscheidet Tensoren nach ihrer Stufe: Ein Tensor nullter Stufe ist eine Zahl, bei einem Tensor erster Stufe handelt es sich um einen Vektor. Ein Tensor zweiter Stufe ist im Wesentlichen eine Matrix und lässt sich in bestimmten Fällen als eine (lineare) Abbildung auffassen, die jeden Vektor in einen anderen Vektor übersetzt. So wird eine Drehung durch einen Tensor zweiter Stufe beschrieben, der jeden Vektor um den vorgegebenen Winkel dreht.

Ein Tensor der Stufe k (wobei k eine ganze Zahl ≥ 0 ist) kann in einem n-dimensionalen Raum nach Wahl eines Koordinatensystems durch die Angabe von n^k Zahlen, den Tensorkomponenten, beschrieben werden; für einen Tensor erster Stufe braucht man im dreidimensionalen Raum also drei Komponenten T_x, T_y, T_z, für einen Tensor zweiter Stufe neun Komponenten T_xx, T_xy, T_xz, T_yx, T_yy, T_yz, T_zx, T_zy, T_zz. Ein Tensor dritter Stufe lässt sich durch die Komponenten T_ijk beschreiben, wobei für i,j,k jeweils x,y oder z einzusetzen ist.

Die Mathematik kennt eine abstrakte Definition für das Tensorprodukt E Ä F zweier Vektorräume E,F. Das ist wieder ein Vektorraum, ausgestattet mit einer bilinearen Abbildung E × F → E Ä F, dem Tensorprodukt von Vektoren. Die oben erwähnten Tensoren k-ter Stufe sind hier die Elemente des k-fachen Tensorproduktes eines Vektorraumes mit sich selbst (und/oder seinem Dualraum), E Ä E Ä … Ä E Ä E* Ä … Ä E*.

Ein physikalisches Beispiel für einen Tensor zweiter Stufe ist der Trägheitstensor eines rotierenden Körpers. Er gibt an, welchen Widerstand der Körper der Änderung seines Rotationszustandes durch ein Drehmoment entgegensetzt und bildet den Winkelgeschwindigkeitsvektor auf den Drehimpulsvektor ab. Weitere Beispiele sind der Spannungszustand eines unter Druck stehenden Materials (daher der Name, von englisch tension: Spannung) und die Energie-Impuls-Stromdichte in der Relativitätstheorie.

Ein Beispiel für einen Tensor vierter Stufe, welcher drei Vektoren multilinear auf einen Vektor abbildet, ist die innere Krümmung eines gekrümmten Raumes (Riemann-Tensor). Die k-te Ableitung einer Funktion von mehreren Variablen kann durch einen Tensor der Stufe k dargestellt werden. Da seit der Allgemeinen Relativitätstheorie die Physik öfters in gekrümmten Räumen spielt, hat die Tensoranalysis, d. h. die Differentialrechnung (siehe Infinitesimalrechnung) mit tensorwertigen Funktionen, an Bedeutung gewonnen.