Algebra

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Einleitung

Algebra, Zweig der Mathematik, der sich in seiner klassischen Form mit der Lösung von algebraischen Gleichungen beschäftigt.

Die Algebra verwendet Symbole anstelle von festen Zahlen und benutzt arithmetische Operationen, um darzustellen, wie man mit den Symbolen umgeht. Hieraus entwickelte sich die moderne Form der Algebra, die sich der Untersuchung von Strukturen widmet, also Mengen mit spezifizierten Relationen wie Addition und Multiplikation. Aus der theoretisch unabsehbaren Fülle solcher Strukturen greift die Algebra allerdings nur einen kleinen Teil heraus, der für die Mathematik und ihre Anwendungen von wirklicher Bedeutung ist: Gruppen, Ringe, Körper, Vektorräume und Moduln, um nur die wesentlichen Strukturen zu nennen. Diese Strukturen werden zwar auch zur Lösung von Gleichungen herangezogen, doch haben sie längst ein eigenständiges Interesse gewonnen und dienen zur mathematischen Beschreibung und Untersuchung vielfältigster Probleme der Mathematik und ihrer Anwendungen in nahezu allen Lebensbereichen. Die „Algebraisierung” von Problemen kann geradezu als ein Kennzeichen der modernen Mathematik gelten.

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Geschichte

Die Geschichte der Algebra beginnt im alten Ägypten und in Babylonien, wo die Menschen lernten, sowohl lineare (ax = b) und quadratische Gleichungen (ax² + bx = c) als auch unbestimmte Gleichungen wie etwa x² + y² = z² mit mehreren Unbekannten zu lösen. Die alten Babylonier lösten beliebige quadratische Gleichungen durch Methoden, die den heutigen im Wesentlichen entsprechen. Sie waren bereits in der Lage, einige unbestimmte Gleichungen zu lösen.

Die alexandrinischen Mathematiker Heron von Alexandria und Diophantos von Alexandria setzten die ägyptischen und babylonischen Traditionen fort. Doch befindet sich Diophantos’ Buch Arithmetica auf einem bedeutend höheren Niveau, denn es enthält viele Lösungen für komplizierte unbestimmte Gleichungen. Im arabischen Wort für Wiederzusammenfügen, al-jabru, liegen die Wurzeln des Wortes Algebra. Sinngemäß nannte sich dieser Zweig der Mathematik „Wissenschaft des Ausgleichens und Wiederzusammenfügens”. Im 9. Jahrhundert schrieb der arabische Mathematiker Al-Khwarizmi eines der ersten arabischen Lehrbücher der Algebra, eine systematische Darstellung der grundlegenden Theorie der Gleichungen sowohl mit Beispielen als auch mit Beweisen. Ende des 9. Jahrhunderts hatte der ägyptische Mathematiker Abu Kamil die grundlegenden Gesetze und Gleichungen der Algebra aufgestellt und bewiesen. Komplizierte Probleme konnten damit gelöst werden, wie beispielsweise das Finden von x, y und z für die Gleichungen x + y + z = 10, x² + y² = z² und xz = y².

Die alten Kulturen schrieben algebraische Ausdrücke nur gelegentlich mit Kürzeln. Im Mittelalter konnten arabische Mathematiker jedoch schon von beliebig hohen Potenzen einer Unbekannten x sprechen. Sie entwickelten ohne den modernen Symbolismus die grundlegende Algebra der Polynome. Dies schloss die Fähigkeit des Multiplizierens, Dividierens und Wurzelziehens ebenso ein wie die Kenntnis des binomischen Lehrsatzes. Der persische Mathematiker, Astronom und Dichter Omar-e Chajjam zeigte, wie man die Wurzeln kubischer Gleichungen mit Hilfe von Strecken darstellen konnte. Sie lassen sich durch den Schnitt von Geraden mit Kegelschnitten erhalten. Chajjam konnte jedoch keine Formel für diese Lösung finden. Im 12. Jahrhundert erschien eine lateinische Übersetzung von Al-Kwarizmis Algebra. Im frühen 13. Jahrhundert gelang dem italienischen Mathematiker Leonardo Fibonacci eine gute Annäherung an die Lösung der kubischen Gleichung x³ + 2x² + cx = d.

Im frühen 16. Jahrhundert lösten die italienischen Mathematiker Scipione del Ferro, Niccolò Tartaglia und Geronimo Cardano die allgemeine kubische Gleichung mit Hilfe der Konstanten, die in der Gleichung auftauchten. Cardanos Schüler Ludovico Ferrari fand bald darauf eine genaue Lösung für Gleichungen vierten Grades. Infolgedessen versuchten Mathematiker der folgenden Jahrhunderte, eine Formel für die Wurzeln von Gleichungen fünften oder höheren Grades zu finden. Erst sehr viel später, Anfang des 19. Jahrhunderts, bewiesen der norwegische Mathematiker Niels Abel und der französische Mathematiker Évariste Galois, dass eine solche Formel nicht existiert.

Ein wichtiger Schritt in der Algebra war die Einführung von Symbolen für Unbekannte, für Potenzen und für algebraische Operationen. 1637 erschien das Buch III von La géometrie des französischen Philosophen und Mathematikers René Descartes. Descartes’ bedeutendster Beitrag zur Mathematik war die Entdeckung der analytischen Geometrie, die die Lösung geometrischer Probleme auf algebraische Fragestellungen zurückführt. Sein Aufsatz über Geometrie enthielt auch die Grundzüge eines Lehrganges über die Theorie von Gleichungen einschließlich seiner so genannten Zeichenregel zum Zählen dessen, was Descartes die „wahren” (positiven) und „falschen” (negativen) Nullstellen einer Gleichung nannte. Während des 18. Jahrhunderts arbeitete man weiter an einer Theorie der Gleichungen, und 1799 veröffentlichte Carl Friedrich Gauß den Beweis, dass jede polynomische Gleichung in der komplexen Ebene (siehe Zahl) wenigstens eine Nullstelle hat.

Anfang des 19. Jahrhunderts verlagerte sich die Aufmerksamkeit der Mathematiker vom Lösen polynomischer Gleichungen zur Untersuchung abstrakter mathematischer Systeme. Daraus konnten die Forscher Axiome für diese Systeme aufstellen. Beispiele solcher Systeme sind Gruppen und Quaternionen, die sowohl einige Eigenschaften mit Zahlensystemen teilen als auch in wichtigen Punkten von ihnen abweichen (Quaternionen sind Zahlensysteme aus vier komplexen Einheiten). Anfangs stellten Gruppen Permutationen und Kombinationen von Nullstellen von Polynomen dar. Sie wurden zu einem der wichtigsten vereinheitlichenden Konzepte der Mathematik des 19. Jahrhunderts. Die französischen Mathematiker Évariste Galois und Augustin Cauchy, der britische Mathematiker Arthur Cayley und die norwegischen Mathematiker Niels Abel und Sophus Lie lieferten wichtige Beiträge zur Erforschung dieser Systeme. Der britische Mathematiker und Astronom William Rowan Hamilton entdeckte die Quaternionen. Er erweiterte sie auf die Arithmetik der komplexen Zahlen. Während komplexe Zahlen die Form a + bi haben, sind Quaternionen von der Gestalt a + bi + cj + dk, wobei i, j und k imaginäre Einheiten und a, b, c und d reelle Zahlen sind.

Unmittelbar nach Hamiltons Entdeckung begann der deutsche Mathematiker Hermann Grassmann, Vektoren zu untersuchen. Trotz ihres abstrakten Charakters erkannte der amerikanische Physiker J. W. Gibbs in der Vektoralgebra ein für Physiker sehr brauchbares System, wie auch Hamilton den Vorteil der Quaternionen erkannte. Vom abstrakten Ansatz beeinflusst, verfasste George Boole The Laws of Thought (1854), eine algebraische Abhandlung der grundlegenden Logik (Boole’sche Algebra).

Die Axiomatisierung erfasste in der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts unter den Händen von Camille Jordan, Richard Dedekind, Leopold Kronecker, um nur einige Forscher zu nennen, immer weitere mathematische Objekte und fand ihren ersten systematischen Niederschlag in dem Lehrbuch der Algebra von Heinrich Weber (1895/96). Doch waren diese Axiomatisierungen stets auf konkrete traditionelle Objekte der Mathematik gerichtet, wie Zahlentheorie, Galoistheorie oder Transformationsgruppen. Wesentliche Anstöße zur völligen Loslösung von konkreten Objekten gingen von Ernst Steinitz und von der Göttinger Schule unter Felix Klein, David Hilbert und Emmy Nöther aus. Steinitz hatte 1910 mit seiner fundamentalen Arbeit über die Algebraische Theorie der Körper erstmals eine rein auf axiomatischer Grundlage beruhende Untersuchung der Struktur der Körper vorgelegt und damit die Epoche der abstrakten Algebra eingeleitet. Diese strukturelle Methode wurde in der Folge auf andere Strukturen angewendet und fand 1930/31 in dem Lehrbuch Moderne Algebra von Bartel L. van der Waerden ihren wichtigsten und einflussreichsten Ausdruck. Das Lehrbuch, seit 1955 unter dem Titel Algebra, ist noch heute eine unübertroffene Einführung in die Algebra. Ein vollständig systematischer Aufbau der Algebra in größter Allgemeinheit wurde 1942 bis 1948 von der Gruppe Nicolas Bourbaki im Rahmen einer Gesamtdarstellung der Mathematik unternommen. In den letzten Jahrzehnten haben sich – nicht zuletzt durch das Vordringen der Computer – neue konkrete Fragen der Algebra gestellt, wie z. B. die algebraische Kodierungstheorie und Kryptographie. Gegenüber dem Strukturdenken tritt hier der algorithmische Gesichtspunkt wieder in den Vordergrund. In diesem Sinn dringt die Algebra auch in neue, informatiknahe Anwendungsgebiete vor. Waren früher die Methoden der Analysis in den Anwendungen der Mathematik beherrschend, so treten ihnen heute die algebraischen Methoden gleichbedeutend zur Seite.

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Verknüpfungen

Die Algebra untersucht Strukturen. Das sind Mengen, auf denen eine oder mehrere Verknüpfungen zwischen den Elementen definiert sind. Eine Verknüpfung ∘ auf der Menge M ordnet jedem Paar von Elementen a, b aus M eindeutig ein Element c aus M zu, das dann mit c = a ∘ b bezeichnet wird. Beispielsweise sind die Addition und Multiplikation auf der Menge der ganzen Zahlen Verknüpfungen, die je zwei ganzen Zahlen ihre Summe bzw. ihr Produkt zuordnen.

Für diese Verknüpfungen fordert man gewisse Rechenregeln, wie wir sie z. B. bei den ganzen Zahlen kennen. Eine meist geforderte Regel ist das Assoziativgesetz:

(a ∘ b) ∘ c = a ∘ (b ∘ c).

Oft wird auch das Kommutativgesetz gefordert:

a ∘ b = b ∘ a.

Gibt es ein Element e, das sich bezüglich der Verknüpfung neutral verhält, also für alle a aus M gilt:

a ∘ e = a,

so heißt e neutrales Element der Verknüpfung. Bei der Addition ganzer Zahlen ist z. B. die Null das neutrale Element bezüglich der Addition und die Eins das neutrale Element bezüglich der Multiplikation.

Besitzt die Verknüpfung ein neutrales Element e, so heißt ein Element b inverses Element von a, wenn gilt: a ∘ b = e. Bei den ganzen Zahlen ist z. B. -a das inverse Element zu a bezüglich der Addition. Dagegen besitzt nur die Eins ein Inverses in der Menge der ganzen Zahlen bezüglich der Multiplikation, nämlich sich selbst.

Zu jeder Struktur gehören diejenigen Abbildungen, welche die Verknüpfung respektieren: Sind (M, ∘) und (M′, ∘′) Mengen mit Verknüpfungen, so heißt eine Abbildung F: M→M′ ein Homomorphismus, wenn für alle a, b aus M gilt:

F(a ∘ b) = F(a) ∘ F′(b)

F heißt ein Isomorphismus, wenn F eine Umkehrabbildung (siehe Abbildung) besitzt, die ebenfalls ein Homomorphismus ist. Solche Strukturen heißen dann isomorph, sind also in ihren algebraischen Eigenschaften als gleich anzusehen. Es ist eines der Ziele der Algebra, algebraische Strukturen bis auf Isomorphie zu klassifizieren.

Im Folgenden werden einige wichtige Strukturen der Algebra und Beispiele dazu vorgestellt.

3.1

Gruppen

Eine Gruppe besteht aus einer Menge mit einer assoziativen Verknüpfung, die ein neutrales Element und zu jedem Element ein Inverses besitzt.