Nichteuklidische Geometrie

Nichteuklidische Geometrie, Zweig der Geometrie, der sich auf andere Axiome gründet als die von Euklid aufgezählten.

Eines der Axiome von Euklid sagt aus, dass durch einen Punkt außerhalb einer gegebenen Geraden nur eine Parallele zu ihr gezogen werden kann. Viele Jahrhunderte lang suchten Mathematiker nach dem Beweis dieses Axioms auf der Grundlage der anderen Axiome, aber alle Bemühungen in dieser Richtung waren vergebens. Schließlich fanden in der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts der deutsche Mathematiker Carl Friedrich Gauß, der russische Mathematiker Nikolaj Lobatschewskij und der ungarische Mathematiker János Bolyai unabhängig voneinander die Möglichkeit, ein in sich konsistentes System einer Geometrie zu konstruieren. In diesem Modell ersetzten sie Euklids Parallelenaxiom durch ein anderes: Durch jeden Punkt außerhalb einer gegebenen Geraden können unendlich viele Parallelen zu dieser Geraden gezogen werden.

Später, etwa 1860, zeigte der deutsche Mathematiker Georg Friedrich Bernhard Riemann, dass eine Geometrie auch ohne Parallelen möglich ist. Die Details dieser zwei Arten nichteuklidischer Geometrie sind komplex, aber beide Systeme können durch einfache Modelle veranschaulicht werden. Die Bolyai-Lobatschewskij’sche Geometrie, oft auch hyperbolische nichteuklidische Geometrie genannt, beschreibt die Geometrie einer Ebene. Diese besteht nur aus Punkten innerhalb eines Kreises, wobei alle möglichen Geraden Sehnen des Kreises sind. Wie aus Abbildung 2 ersichtlich, können unendlich viele Parallelen zu einer Geraden g durch den Punkt P gezogen werden, ohne dass sie g schneiden.

Analog ist die Riemann’sche oder elliptische nichteuklidische Geometrie. Hier liegen die Punkte auf der Oberfläche einer Kugel, in der die Geraden zu Großkreisen werden. Aus Abbildung 3 wird die Unmöglichkeit deutlich, auf dieser Oberfläche überhaupt ein Parallelenpaar zu zeichnen.

Bei vergleichbar kleinen Abständen sind euklidische und nichteuklidische Geometrien im Wesentlichen äquivalent. Hat man es jedoch mit Abständen im Weltraum oder mit Problemen der modernen Physik wie der Relativitätstheorie und der Theorie der Wellenstrahlung zu tun, beschreiben die nichteuklidischen Geometrien die beobachteten Phänomene genauer als die euklidische. Zum Beispiel hat die hauptsächlich von Albert Einstein entwickelte Relativitätstheorie eine Riemann’sche Geometrie des gekrümmten Raumes zur Grundlage.