Matrizenrechnung

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Einleitung

Matrizenrechnung, Teilgebiet der Algebra, das den rechnerischen Umgang mit Matrizen behandelt. Eine Matrix ist ein rechteckig angeordnetes Schema von Zahlen, das in runde Klammern gesetzt wird. Ein solches Zahlenschema

könnte z. B. aus einer Tabelle kommen, die angibt, wie viel Gramm Eiweiß und Fett in 100 Gramm Reis, Butter und Linsen sind:

Diese Tabelle führt zu obiger Matrix mit zwei Zeilen und drei Spalten. In der Mathematik befreit man sich von dem konkreten Inhalt, nummeriert die Zeilen und Spalten und notiert nur die Zahlen. Allgemein hat eine Matrix mit m Zeilen und n Spalten die Gestalt

, wobei a_ij das Element bezeichnet, das in der i-ten Zeile und j-ten Spalte steht. Man bezeichnet sie als eine m×n-Matrix und schreibt auch kurz A = (a_ij). Die Zeilen bzw. Spalten einer Matrix bezeichnet man als deren Zeilen- bzw. Spaltenvektoren. Eine 1×n- oder m×1-Matrix ist ein Vektor, geschrieben als Zeilen- oder Spaltenvektor. Insofern ordnet sich die Vektorrechnung der Matrizenrechnung unter.

Im obigen Beispiel ist a₂₃ = 3. Die Elemente einer Matrix können aber allgemeiner auch aus einem beliebigen Körper oder Ring stammen, also z. B. komplexe Zahlen oder Polynome sein. Die Elemente des Körpers werden dann zur Unterscheidung von den Matrizen als Skalare bezeichnet.

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Addition von Matrizen, Multiplikation mit Skalaren

Zwei m×n-Matrizen A = (a_ij) und B = (b_ij) werden addiert, indem man die Elemente in gleicher Position der beiden Matrizen addiert. Die Matrixsumme A + B hat also in der i-ten Zeile und j-ten Spalte das Element a_ij + b_ij. Beispielsweise ist

Eine Matrix A = (a_ij) wird mit einem Skalar λ multipliziert, indem man jedes Element der Matrix mit λ multipliziert. Es ist also

λA = (λaij).

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Multiplikation von Matrizen mit Vektoren

Zur Motivation: Möchte man im Ernährungsbeispiel (siehe Einleitung) wissen, wie viel Eiweiß und Fett man zu sich nimmt, wenn man 3×100 Gramm Reis mit 0,2×100 Gramm Butter und 2×100 Gramm Linsen isst, so entnimmt man der Tabelle, dass dies 8·3 + 1·0,2 + 30·2 = 84,2 Gramm Eiweiß und 1·3 + 85·0,2 + 3·2 = 26 Gramm Fett entspricht. In der Sprache der Vektorrechnung bedeutet dies, dass man zuerst das Skalarprodukt des ersten Zeilenvektors und dann des zweiten Zeilenvektors der zugehörigen Matrix mit dem Vektor = (3, 0,2, 2) gebildet hat. Das Ergebnis lässt sich wieder als ein Vektor = (84,2, 26) zusammenfassen. In diesem Zusammenhang schreibt man die Vektoren und als Spaltenvektoren und sagt, dass das Produkt der Matrix A = mit ist:

=

Allgemein ist das Produkt einer m×n-Matrix A = (a_ij) mit einem Spaltenvektor , der n Komponenten x₁, …, x_n besitzt, derjenige Spaltenvektor , dessen i-te Komponente c_i das Skalarprodukt des i-ten Zeilenvektors von A mit ist:

ci = ai1x1 +…+ ainxn für i = 1 … m.

Man schreibt auch kurz A = . Fasst man hierin die x_i als Unbestimmte auf, so hat man in obiger Gleichung die Darstellung eines linearen Gleichungssystems von m Gleichungen in n Unbestimmten in Matrizenschreibweise (siehe lineare Algebra) vorliegen.

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Multiplikation von Matrizen

Bestimmt man im obigen Beispiel den „Eiweiß-Fett-Vektor” für vier verschiedene „Essmengen-Vektoren” , so erhält man eine Ergebnistabelle aus zwei Zeilen und vier Spalten. Fasst man die vier Spaltenvektoren zu einer 3×4-Matrix B und die vier Ergebnisvektoren zu einer 2×4-Matrix C zusammen, so bezeichnet man C als Produkt der Matrizen A und B. Allgemein wird das Produkt einer m×n-Matrix A = (a_ij) mit einer n×k-Matrix B = (b_ij) als diejenige m×k-Matrix C = (c_ij) erklärt, deren Element c_ij in der i-ten Zeile und k-ten Spalte das Skalarprodukt des i-ten Zeilenvektors von A mit dem j-ten Spaltenvektor von B ist:

cij = ai1b1j + … + ainbnj für i = 1 … m und j = 1 … k.

Man nennt C das Matrizenprodukt von A und B und schreibt: C = AB.

Das Matrizenprodukt ist nur erklärt, wenn die Spaltenanzahl von A gleich der Zeilenanzahl von B ist, also z. B. für alle „quadratischen” Matrizen. Beispielsweise gelten:

An diesem Beispiel sieht man auch, dass es bei der Produktbildung auf die Reihenfolge der Faktoren ankommt: Im Allgemeinen gilt AB ≠ BA, d. h., das Matrizenprodukt ist im Allgemeinen nicht kommutativ. Sonst gelten aber die üblichen Klammernregeln für die Addition und Multiplikation von Matrizen.

Das Matrizenprodukt, so umständlich und geheimnisvoll seine Erklärung erscheinen mag, ist eines der machtvollsten Instrumente der Mathematik. Mit seiner Hilfe lassen sich viele komplizierte und komplexe Probleme behandeln. Die konkrete Berechnung, früher ein mühsames Unterfangen, ist im Zeitalter der Computer kein Problem mehr, solange die Anzahl der Zeilen und Spalten nicht zu groß wird. (In den Anwendungen sind Matrizen mit Tausenden von Zeilen und Spalten durchaus keine Seltenheit.)