Zahlensystem

1

Einleitung

Zahlensystem, jedes mathematische System zur Darstellung von Zahlen. Ein Zahlensystem ist durch die verwendete Basis definiert; das ist diejenige Zahl aus verschiedenen Zeichen (oder Ziffern), die das System zur Darstellung jeder beliebigen Zahl einer unendlichen Zahlenreihe benötigt. Für das heute allgemein verwendete Dezimalsystem (außer für Computeranwendungen) braucht man zur Darstellung der Zahlen zehn verschiedene Zeichen oder einstellige Zahlen, es ist deshalb ein System mit der Basis 10.

Im Lauf der Geschichte wurden viele verschiedene Zahlensysteme genutzt; theoretisch kann jede ganze Zahl größer als 1 als Basis verwendet werden. Einige Kulturkreise besaßen Systeme, die auf den Zahlen 3, 4 oder 5 basieren. Die Babylonier verwendeten das Sexagesimalsystem, das auf der Zahl 60 basiert, und die Römer (siehe Rom: Geschichte) benutzten (für manche Zwecke) das Duodezimalsystem, das auf der Zahl 12 beruht. Die Maya verwendeten das auf der Zahl 20 basierende Vigesimalsystem. Das auf der Zahl 2 basierende Dualsystem wurde von einigen Volksstämmen benutzt; es wird heute neben dem auf der Zahl 16 basierenden Hexa- oder auch Sedezimalsystem in Computersystemen verwendet.

Das Dezimalsystem wurde wohl zuerst von den Indern benutzt und gelangte über die Araber (al-Khwarizmi, 820) im 12. Jahrhundert nach Europa. In Deutschland wurde das Rechnen im Dezimalsystem vor allem ab 1518 durch die Rechenbücher von Adam Ries verbreitet.

2

Stellenwerte

Die Stelle eines Zeichens (Ziffer) in der Darstellung zur Basis b einer Zahl gibt an, mit welcher Potenz der Basiszahl die Ziffer zu multiplizieren ist. Steht die Ziffer a an n-ter Stelle, so ist ihr Beitrag zur Zahl ab^n-1. Im Dezimalsystem ist die Zahl 3 098 323 folglich eine Kurzform für (3 × 10⁶) + (0 × 10⁵) + (9 × 10⁴) + (8 × 10³) + (3 × 10²) + (2 × 10¹) + (3 × 10⁰ oder 3 × 1).

In der Praxis ist die Zifferndarstellung wohl durch Bündelungen der zu zählenden Dinge entstanden. Um etwa einen Haufen Stäbe zu zählen, bündelt man z. B. je 5 zu einem Bündel und dann je 5 Bündel zu einem Stapel und so fort. Hat man 3 Stapel, 2 Bündel und 4 Reststäbe, so entspricht dies der Zahl 324 im Fünfersystem, also der Anzahl 3 · 52 + 2 · 5 + 4 = 89 im Zehnersystem.

Um im Dualsystem alle Zahlen darzustellen, genügen die zwei einstelligen Zahlen 0, 1. Für das Sexagesimalsystem benötigt man sechs einstellige Zahlen – 0, 1, 2, 3, 4, 5 – zur Darstellung aller Zahlen; und 16 einstellige Zahlen – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A (zehn), B (elf), C (zwölf), D (dreizehn), E (vierzehn), F (fünfzehn) – braucht man, um die Zahlen im Hexadezimalsystem darzustellen. Die Zahl 30155 im Sexagesimalsystem entspricht der Zahl (3 × 6⁴) + (0 × 6³) + (1 × 6²) + (5 × 6¹) + (5 × 6⁰) = 3 959 im Dezimalsystem; die Zahl 2 EF im Hexadezimalsystem ist die Zahl (2 × 16²) + (14 × 16¹) + (15 × 16⁰) = 751 im Dezimalsystem.

Um eine gegebene Zahl n der Basis 10 als Zahl der Basis b zu schreiben, teilt man (im Dezimalsystem) n durch b, teilt das Resultat immer wieder durch b, bis man das Resultat 0 erhält. Die nacheinander entstandenen Reste sind die Ziffern der Zahl n auf der Basis b. Dazu ein Beispiel: Um 3 959 (Basis 10) mit der Basis 6 darzustellen, schreibt man

woraus zu ersehen ist, dass 3 959₁₀ = 30155₆ (die Basis schreibt man häufig als unteren Index der Zahl). Je größer die Basis ist, umso mehr Zeichen, aber umso weniger Stellen braucht man, um eine gegebene Zahl auszudrücken.

3

Dualsystem

Das Dualsystem spielt in der Computertechnik eine wichtige Rolle. Die ersten 20 Zahlen lauten in der Dualschreibweise 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111, 10000, 10001, 10010, 10011, 10100. Jede Zahl kann im Dualsystem durch die Summe der verschiedenen Potenzen von 2 ausgedrückt werden. Zum Beispiel entspricht 0101101 von rechts beginnend (1 × 2⁰) + (0 × 2¹) + (1 × 2²) + (1 × 2³) + (0 × 2⁴) + (1 × 2⁵) + (0 × 2⁶) = 173.

Rechenoperationen sind im Dualsystem denkbar einfach. Die Grundregeln lauten: 1 + 1 = 10 und 1 × 1 = 1. Die Null besitzt ihre übliche Bedeutung: 1 × 0 = 0 und 1 + 0 = 1. Addition, Subtraktion und Multiplikation werden in einer dem Dezimalsystem ähnlichen Weise ausgeführt:

Da nur zwei einstellige Zahlen (oder Bits) vorkommen, wird das Dualsystem in Computern verwendet: Jede beliebige Dualzahl kann beispielsweise durch die Stellungen einer Reihe von Ein-Aus-Schaltern dargestellt werden. Die Ein-Stellung entspricht 1 und die Aus-Stellung entspricht 0. Anstelle von Schaltern können zur Darstellung im Dualsystem auch magnetisierte Stellen beispielsweise auf einem Magnetband oder einer Diskette verwendet werden: Ein magnetisierter Abschnitt steht für die Ziffer 1; ein nichtmagnetisierter Abschnitt für die Ziffer 0.

So genannte Flip-Flops – elektronische Bauelemente, die an ihren Ausgängen nur zwei verschiedene Spannungen führen können und die durch einen Impuls von einem in den anderen Zustand geschaltet werden können – lassen sich ebenfalls zur Darstellung von Dualzahlen verwenden. In Computern führen logische Schaltungen die Rechenoperationen mit Dualzahlen aus; die Umwandlung von Dezimal- in Dualzahlen und von Dual- in Dezimalzahlen für die Anzeige wird elektronisch durchgeführt.