Gleichung

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Einleitung

Gleichung, mathematischer Begriff, unter dem man im allgemeinen Sinn die Gleichheit zwischen zwei Ausdrücken versteht. Gleichungen kommen in fast allen Zweigen der Mathematik und Physik vor, werden aber auch in anderen Naturwissenschaften und in Bereichen wie den Sozialwissenschaften und der Ökonomie verwendet.

Die Ausdrücke einer Gleichung enthalten normalerweise eine oder mehrere unbekannte Größen, die als Variable, Unbekannte oder Unbestimmte bezeichnet und meist mit Buchstaben wie x, y, z, … geschrieben werden. Beispielsweise sind

x2 + x - 4 = 8,

3y = logx,

x2 + y2 + z2 = 1

Gleichungen mit einer, zwei bzw. drei Unbekannten. Siehe auch Theorie der Gleichungen

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Lösung von Gleichungen

Für bestimmte Werte der Variablen wird eine Gleichung erfüllt oder zu einer wahren Aussage, wenn die Variablen durch diese Werte ersetzt werden können und der Ausdruck auf der linken Seite des Gleichheitszeichens dem Ausdruck auf der rechten Seite entspricht. So wird beispielsweise die Gleichung 2x + 5 = 13 erfüllt, wenn x = 4 ist. Erfüllen nur bestimmte Werte der Variablen die Gleichung, so nennt man sie eine Bestimmungsgleichung. Bei der Gleichung 3x + 4y = 8 handelt es sich um eine Bestimmungsgleichung, denn sie ist z. B. nicht für die Werte x = 1 und y = 3 erfüllt. Man bezeichnet eine Gleichung als identische Gleichung, wenn sie für alle möglichen Werte der Variablen erfüllt ist. Beispielsweise sind die Gleichungen

(x + y)2 = x2 + 2xy + y2

und

sin2x + cos2x = 1

identische Gleichungen, weil sie für alle Werte der Variablen x und y wahr sind. Die Lösung einer Bestimmungsgleichung ist ein Wert der Variablen oder ein Wertebereich der Variablen, welche die Gleichung erfüllen. Somit ist 3 eine Lösung der Gleichung x² - 2x = 3, und es ist x = 2, y = 4 eine Lösung der Gleichung 3x² + 4y = 28.

Gleichungen können unendlich viele Lösungen haben. So hat die obige Gleichung 3x² + 4y = 28 die unendlich vielen ganzzahligen Lösungen x = 2n, y = 7 - 3n², für n = 0, 1, 2, … Die Gleichung sinx = 0 hat im Bereich der rationalen Zahlen nur die Lösung x = 0, aber im Bereich der reellen Zahlen die unendlich vielen Lösungen 0, ±p, ±2p, … Für die Lösungen einer Gleichung ist es daher wesentlich, aus welchem Zahlenbereich die Werte der Unbestimmten gewählt werden dürfen. So hat z. B. die Gleichung x⁴ = 4 keine Lösung im Bereich der rationalen Zahlen, die Lösungen ±Ã im Bereich der reellen Zahlen, die Lösungen ±Ã und ±ià mit i = Á im Bereich der komplexen Zahlen.

Das Lösen von Gleichungen ist eine der Hauptaufgaben der Mathematik. Oft ist es schwierig zu entscheiden, ob eine Gleichung überhaupt Lösungen besitzt. Zur Untersuchung von Lösungen gibt es entsprechend den verschiedenen Gleichungstypen eine Vielfalt von Methoden (siehe unten). In der reinen Mathematik liegt der Schwerpunkt auf Fragen der Existenz und der Struktur von Lösungen. In der angewandten Mathematik und Technik liegt der Schwerpunkt auf der Entwicklung numerischer Lösungsverfahren.

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Einige Gleichungstypen

Eine algebraische Gleichung ist eine Gleichung F(x₁,…,x_n) = 0, wobei F ein Polynom mit n Unbestimmten ist. Im Fall n = 1 handelt es sich um eine Polynomgleichung

a0 + a1x + … anxn = 0

mit einer Unbestimmten x, und es sind als Lösungen die Nullstellen oder Wurzeln des Polynoms gesucht. Nach dem Fundamentalsatz der Algebra, zuerst bewiesen von Carl Friedrich Gauß, besitzt jedes Polynom vom Grad n im Bereich der komplexen Zahlen genau n Nullstellen (mit Vielfachheiten gezählt).

Die Lösungen einer algebraischen Gleichung mit zwei Unbekannten x, y lassen sich geometrisch als Punkte einer Kurve in der xy-Ebene veranschaulichen. Beispielsweise beschreiben die reellen Lösungen von x² + y² = 1 einen Kreis vom Radius 1. Allgemein fällt das Studium der Lösungen algebraischer Gleichungen in das Gebiet der algebraischen Geometrie.

Diophantische Gleichungen sind algebraische Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten, für die Lösungen im Bereich der ganzen Zahlen gesucht werden. Die Lösung diophantischer Gleichungen gehört zu den ältesten und zugleich schwierigsten Problemen der Mathematik. Betrachten wir beispielsweise die diophantische Gleichung xⁿ + yⁿ = zⁿ.

Für n = 2 gibt es unendlich viele Lösungen. Sie heißen pythagoräische Tripel, denn schon die Pythagoreer kannten eine unendliche Serie von Lösungen, nämlich x = m² - 1, y = 2m, z = m² + 1 für m = 2, 3, …, also (3, 4, 5), (8, 6, 10), … Dagegen konnte die Unlösbarkeit der Gleichung für n > 2, die so genannte Fermat’sche Vermutung, nach vielen vergeblichen Versuchen erst 1993 durch den britischen Mathematiker Andrew Wiles bewiesen werden.

Transzendente Gleichungen sind Gleichungen, die transzendente Funktionen (wie z. B. trigonometrische, logarithmische oder Exponentialfunktionen) enthalten. Hierzu ein paar Beispiele:

• (1) sinx + cos2x = 1/2
• (2) logx + 2log(x + 1) = 8
• (3) 2^x + 2x + 5 = 0.

Solche Gleichungen lassen sich nur approximativ lösen. Zur Lösung benutzt man so genannte Iterationsverfahren (z. B. Newton-Verfahren, Banach’scher Fixpunktsatz). Die Gleichung (1) hat vier Lösungen -0,8274…, -0,3141…, 0,9424… und 2,1991…, die sich periodisch mit der Periode 2p wiederholen; (2) hat die einzige Lösung 463,492… und (3) hat die einzige Lösung -2,5834…

Andere Gleichungstypen entstehen, wenn für die Lösungen nicht Zahlenwerte sondern Funktionen gesucht werden:

Eine Differentialgleichung ist eine Gleichung, in der neben der gesuchten Funktion y = f(x) auch Ableitungen von f(x) auftreten. Beispielsweise hat die Differentialgleichung y’ = y als Lösungen die Euler’sche Exponentialfunktion y = ce^x, c konstant.

Das Studium der Differentialgleichungen ist ein Hauptgebiet der Analysis und für die Physik von großer Bedeutung.

Treten in einer Gleichung für die gesuchte Funktion auch Integrale über diese auf, so handelt es sich um eine Integralgleichung. Beispielsweise hat die Integralgleichung

für λ = 3 die Lösungen y = cx, c konstant, und für λ ≠ 3 keine Lösungen.

Werden in einer Gleichung gewisse Beziehungen zwischen Funktionswerten einer gesuchten Funktion f(x) festgelegt, so spricht man von einer Funktionalgleichung. Beispielsweise wird die Funktionalgleichung

f(x + y) = f(x)f(y)

durch die Exponentialfunktionen

y = ax, a > 0

erfüllt.