Geometrie

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Einleitung

Geometrie (griechisch geometria: Feldmesskunst), Zweig der Mathematik, der sich mit Punkten, Linien, Kurven, Lagen und Eigenschaften von Figuren und Körpern, Längen, Flächen und Volumina beschäftigt. Nach einer mehr abstrakten Definition befasst sich die Geometrie insbesondere mit den metrischen Eigenschaften von Räumen.

Ein Gebiet der Geometrie ist beispielsweise die Untersuchung von Symmetrien, d. h. Eigenschaften von Gebilden, die bei Transformation (Lageänderung) dieser Gebilde erhalten bleiben. Ein einfaches Beispiel für diese Disziplineinteilung wäre die Umklappung eines Dreiecks an einer Symmetrieebene (siehe Symmetrie).

Das Fachgebiet Geometrie lässt sich nach mehreren Gesichtspunkten in verschiedene Untergebiete unterteilen. Eine Einteilungsmöglichkeit ist beispielsweise die Unterscheidung zwischen euklidischer und nichteuklidischer Geometrie. Bei der euklidischen Geometrie handelt es sich um die „übliche” Geometrie in einer Ebene und im Raum. Eine wesentliche Annahme der euklidischen Geometrie ist dabei das so genannte Parallelenaxiom, das Euklid in seinem Werk Die Elemente (etwa 300 v. Chr.) vorstellte. In einer etwas abgewandelten Version sagt dieses Axiom Folgendes aus: „Zu jeder Geraden G und jedem nicht auf dieser Geraden liegenden Punkt P gibt es genau eine andere Gerade G’, die wohl durch den Punkt P verläuft, aber nicht die Gerade G schneidet, also parallel zur Geraden G ist.” Im Gegensatz zur euklidischen Geometrie gilt in der nichteuklidischen Geometrie dieses Postulat nicht.

Eine andere Klassifizierung von Geometrie bieten die Methoden und Mittel, mit denen man geometrische Untersuchungen vornimmt. So werden in der analytischen Geometrie geometrische Gebilde oder Figuren mit Hilfe von algebraischen Gleichungen beschrieben. Im Gegensatz dazu arbeitet man in der darstellenden Geometrie mit unterschiedlichen Projektionstechniken (z. B. Parallelprojektion). Siehe auch Fraktal

Eine weitere Einteilungsmöglichkeit der Geometrie ist die Dimension des untersuchten Raumes. Die ebene Geometrie beschäftigt sich beispielsweise mit Untersuchungen an eindimensionalen (Punkten, Geraden) und zweidimensionalen (Flächen, Ebenen) Gebilden. Dreidimensionale Gebilde behandelt die Stereometrie oder auch räumliche Geometrie. Siehe auch Topologie

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Klassische Geometrie

Die euklidische Geometrie (oft auch als klassische Geometrie bezeichnet), die sich beispielsweise mit dem Ausmessen der Größe von Feldern befasste, kam u. a. im alten Ägypten, Sumer und Babylonien zur Blüte. Dieses Wissen verfeinerten und systematisierten die Griechen. Im 6. Jahrhundert v. Chr. zeigte der griechische Philosoph und Mathematiker Pythagoras, dass man die verschiedenen beliebigen und nicht zusammenhängenden Gesetze der Geometrie als logische Folgerungen aus einer begrenzten Anzahl von Axiomen oder Postulaten (sachlich notwendigen Annahmen) beweisen konnte. Pythagoras und seine Nachfolger betrachteten diese Postulate als offensichtliche Wahrheiten, doch in der modernen Mathematik werden sie als Gruppe von zweckmäßigen, aber beliebigen Annahmen angesehen.

Die folgende Aussage ist ein typisches Beispiel für jene Postulate, die von griechischen Mathematikern entwickelt und anerkannt wurden: „Eine Gerade ist die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten.” Mit Hilfe dieser Aussagen lässt sich eine ganze Anzahl von Sätzen über die Eigenschaften von Punkten, Geraden, Winkeln, Kurven und Ebenen logisch herleiten. Ein berühmtes Beispiel ist der pythagoreische Lehrsatz: „Das Quadrat über der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks ist gleich der Summe der Quadrate über den beiden anderen Seiten”. Die klassische Geometrie der Griechen, die sich hauptsächlich mit Polygonen, Kreisen und den entsprechenden dreidimensionalen Gebilden (z. B. Polyeder) beschäftigte, wurde von dem griechischen Mathematiker Euklid in seinem Werk Die Elemente genau festgehalten.

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Klassische geometrische Probleme

Die Griechen befassten sich u. a. mit der Konstruktion geometrischer Sachverhalte. Einfache Beispiele sind die Konstruktion einer geraden Strecke, die doppelt so lang wie eine andere ist, oder die einer Geraden, die einen gegebenen Winkel in zwei gleich große Winkel teilt. Drei berühmte Probleme, die aus der Zeit der alten Griechen stammen, widerstanden den Lösungsversuchen vieler Generationen von Mathematikern: die Verdoppelung des Würfels (Konstruktion eines Würfels mit dem doppelten Volumen eines vorgegebenen Würfels), die Quadratur des Kreises (Konstruktion eines Quadrats mit demselben Flächeninhalt wie ein vorgegebener Kreis) und die Dreiteilung des Winkels (das Teilen eines Winkels in drei gleiche Teile). Die Unmöglichkeit der Quadratur des Kreises mit Mitteln der euklidischen Geometrie wurde (erst) 1882 von dem deutschen Mathematiker Ferdinand von Lindemann endgültig bewiesen. Siehe auch Quadraturformeln

Die Griechen, insbesondere Apollonios von Perge, untersuchten eine Familie von Kurven, die als Kegelschnitte bekannt sind, und entdeckten viele ihrer grundlegenden Eigenschaften. Die Kegelschnitte spielen in vielen Gebieten der Naturwissenschaften eine Rolle. Beispielsweise sind die Bahnen der Planeten um die Sonne im Wesentlichen Kegelschnitte (siehe Kepler’sche Gesetze; Sonnensystem).

Archimedes lieferte eine Menge wichtiger Beiträge zur Geometrie. Er zeigte Wege auf, die Flächeninhalte einer ganzen Anzahl gekrümmter Figuren und die Oberflächeninhalte und Volumina von Körpern zu bestimmen. Mit seiner Methode lässt sich der Wert der Kreiszahl Pi (p) annähernd bestimmen: Das Verhältnis zwischen dem Durchmesser und dem Umfang eines Kreises liegt nach seinem Verfahren numerisch zwischen 3 10/70 und 3 10/71.

Ein einfaches Beispiel eines Satzes der darstellenden Geometrie ist in Bild 1 dargestellt. Die Punkte A, B, C und a, b, c werden an eine beliebige Stelle eines Kegelschnittes gesetzt und sollen wie folgt verbunden sein: A mit b und c, B mit c und a und C mit b und a. Die Punkte, an denen sich die entsprechenden Strecken schneiden, liegen in diesem Beispiel auf einer Geraden. Analog gilt: Wenn sechs beliebige Tangenten an einen Kegelschnitt gezeichnet und die sich jeweils gegenüberliegenden Schnittpunkte dieser Tangenten mit Geraden verbunden werden (Bild 2), so schneiden sich die Verbindungsgeraden in einem Punkt. Dieser Satz wird der darstellenden Geometrie zugeordnet, da er für alle Kegelschnitte gleichermaßen gilt und die Schnitte selbst durch geeignete Projektionen ineinander übergeführt werden können. Bild 3 zeigt die Projektion eines Kreises in eine Ellipse in einer anderen Ebene.

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Analytische Geometrie

Zwischen dem Ende des griechischen Zeitalters und dem Ende des Mittelalters machte die Geometrie wenig Fortschritte. Den nächsten großen Schritt vollzog der französische Philosoph und Mathematiker René Descartes, dessen bahnbrechende Abhandlung Discours de la méthode (Abhandlung über die Methode) im Jahr 1637 veröffentlicht wurde. Dieses Werk schuf eine Verbindung zwischen der Geometrie und der Algebra. Es zeigte, wie man die Methoden der einen Disziplin auf die andere anwenden konnte. Dies ist die Grundlage der analytischen Geometrie, in der geometrische Figuren durch algebraische Ausdrücke dargestellt werden.

Im 19. Jahrhundert machte die Geometrie eine grundlegende Wende. So entwickelte z. B. der britische Mathematiker Arthur Cayley Geometrien von größerer Dimension als drei. Auch wenn derartige Räume anschaulich nicht mehr vorstellbar sind, spielen sie in der Mathematik, Physik und Technik eine sehr wichtige Rolle.

Ein Teilgebiet, das insbesondere in der Mathematik und der Computergraphik eine wichtige Rolle spielt, ist die projektive Geometrie. Darunter versteht man die mathematische Technik, n-dimensionale Geometrie durch Projektionen im (n+1)-dimensionalen Raum zu beschreiben. Beispielsweise werden in der Computergraphik Punkte im dreidimensionalen Raum oft durch mathematische Punkte im vierdimensionalen Raum dargestellt. Konkret bedeutet dies, dass eine Software einen dreidimensionalen Punkt oft nicht in Form von üblichen drei Koordinaten (x,y,z) speichert und verarbeitet, sondern in Form so genannter homogener Koordinaten (x',y',z',w'), zu welchen der Zusammenhang besteht:

x = x'/w', y = y'/w' und z = z'/w'.

Auf diese Weise werden etliche 3-D-Berechnungen (insbesondere Projektionen) vereinfacht und können damit von Computern schneller durchgeführt werden. Insbesondere arbeiten heute 3-D-Chips, welche beispielsweise in aktuellen PC-Computerspielen für die Darstellung von 3-D-Welten sorgen, auch aus diesem Grund in großen Teilen mit vierdimensionalen Vektoren (x',y',z',w') statt mit dreidimensionaler Vektoren (x',y',z').

Analytische Methoden finden auch in der Untersuchung regelmäßiger geometrischer Figuren in vier und mehr Dimensionen und in ihrem Vergleich mit ähnlichen, höchstens dreidimensionalen Figuren Anwendung. Eine solche Geometrie wird Strukturgeometrie genannt. Ein Beispiel ist die Definition der einfachsten geometrischen Figur, die in null-, ein-, zwei- und mehrdimensionalen Räumen gezeichnet werden kann. In den ersten vier dieser Räume sind diese Darstellungen der Punkt, die Gerade, das Dreieck und das Tetraeder. Im vierdimensionalen Raum setzt sich die einfachste darstellbare Figur aus fünf Scheitelpunkten, zehn Strecken als Kanten, zehn Dreiecken als Oberflächen und aus fünf Tetraedern zusammen. Analog analysiert, setzt sich ein Tetraeder aus vier Kanten, sechs Strecken und vier Dreiecken zusammen.

Die Vorstellung so genannter fraktaler Dimensionen entstand ebenfalls im 19. Jahrhundert. In den siebziger Jahren des 20. Jahrhunderts wurde dieser Begriff gesondert als Geometrie der Fraktale entwickelt.