Kugel

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Einleitung

Kugel, Rotationskörper, der durch Rotation eines Kreises oder Halbkreises um dessen Durchmesser entsteht. Mathematisch ist eine Kugel der räumliche Ort aller Punkte, die vom Mittelpunkt M einen Abstand haben, der gleich dem Kugelradius r oder kleiner als r ist.

Die Oberfläche einer Kugel wird auch als Sphäre bezeichnet und umfasst alle Punkte, die vom Mittelpunkt M den festen Abstand r haben. Dagegen gehören die Punkte, die einen kleineren Abstand als r haben, zum Kugelinneren. Das Volumen einer Kugel mit dem Radius r berechnet sich mit Hilfe der Zahl p wie folgt:

VKugel = 4/3pr3.

Ihre Oberfläche errechnet sich folgendermaßen:

OKugel = 4pr2.

Die Kugeloberfläche kann mit einer Geraden zwei Punkte, einen Punkt oder auch keinen Punkt gemeinsam haben. Schneidet die Gerade die Kugel in zwei Punkten, bezeichnet man sie auch als Sekante. Der Sekantenabschnitt innerhalb der Kugel wird auch Sehne genannt; die längste Sehne einer Kugel ist ihr Durchmesser. Berührt die Gerade die Kugel nur in einem Punkt, liegt eine Tangente vor.

Wird die Kugel von einer Ebene geschnitten, so ist die Schnittfläche immer eine Kreisfläche. Die Ebene kann die Kugel in zwei gleich große Hälften oder in zwei unterschiedlich große Teile schneiden. Im ersten Fall heißt die Schnittfläche Großkreis, weil sie auch den Kugelmittelpunkt einschließt. Im zweiten Fall wird diese Schnittfläche auch Kleinkreis genannt.

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Kugelabschnitt oder -segment und Kugelkappe

Schneidet eine Ebene eine Kugel, so entstehen Kugelabschnitte oder -segmente. Das Volumen eines Segments lässt sich aus seiner Höhe h und dem Kugelradius r berechnen:

VSegment = 1/3ph2 (3r - h).

Ist nicht der Kugelradius, sondern nur der Radius des Segments r_S bekannt, so berechnet sich das Volumen folgendermaßen:

VSegment = 1/6ph (3rS2 + h2).

Der zur Kugeloberfläche gehörende Teil eines Kugelsegments wird auch Kugelkappe genannt. Ihren Flächeninhalt kann man aus ihrer Höhe h und dem Kugelradius r bestimmen:

OKappe = 2prh.

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Kugelausschnitt oder -sektor

Eine weitere Figur, die beim Schnitt einer Kugel durch eine Ebene erzeugt wird, ist der Kugelausschnitt oder Kugelsektor. Er entsteht, wenn man z. B. ein Kugelsegment um einen Kegel ergänzt, der die Grundfläche des Segments (Groß- oder Kleinkreis) als Basis hat und dessen Spitze im Mittelpunkt der Kugel liegt. Das Volumen eines Kugelsektors ergibt sich aus seiner Höhe h und dem Kugelradius r:

VSektor = 2/3pr2h.

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Kugelschicht und Kugelzone

Wird eine Kugel von zwei parallel zueinander verlaufenden Ebenen geschnitten, so erhält man zwischen den Ebenen eine Kugelschicht. Sie hat im allgemeinen Fall zwei unterschiedlich große Kreise als Schnittflächen sowie unterschiedlich große Radien r₁ und r₂. Das Volumen der Kugelschicht berechnet sich wie folgt:

VSchicht = 1/6ph (3r12 + 3r22 + h2).

Der zur Kugeloberfläche gehörende Teil einer Kugelschicht wird Kugelzone genannt und hängt nur von ihrer Höhe h und dem Radius der Kugel r ab:

OZone = 2prh.