Potenz (Mathematik)

Potenz (Mathematik), mehrfache Multiplikation einer Zahl mit sich selbst. Das Produkt, d. h. das Ergebnis der Multiplikation, a×a einer Zahl a mit sich selbst wird in der Mathematik üblicherweise als „die zweite Potenz der Zahl a” genannt; häufig sind auch die Bezeichnungen „a hoch 2” oder „das Quadrat von a” anzutreffen. Unter der dritten Potenz von a oder „a hoch drei” versteht man a×a×a. Allgemeiner ist die m-te Potenz von a, auch „a hoch m” genannt und a^m geschrieben, das Produkt von m Faktoren, von denen jeder gleich a ist. Beispielsweise entspricht

25 = 2×2×2×2×2 = 32.

Zweite Potenzen von ganzen Zahlen werden auch als Quadratzahlen bezeichnet, weil der Flächeninhalt eines Quadrats mit Seitenlänge a gerade a² beträgt. In vergleichbarer Weise bezeichnet man die dritten Potenzen ganzer Zahlen als Kubikzahlen (lateinisch cubus: Würfel), weil der Rauminhalt eines Würfels mit Seitenlänge a gerade a³ beträgt. Die Folge der Potenzen einer Zahl, z. B. 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, …, bezeichnet man auch als eine „geometrische Progression” (im besonderen Unterschied zu einer arithmetischen Progression wie 2, 4, 6, 8, 10, 12, …). Bei dem Ausdruck a^m ist a die Basis (seltener auch Grundzahl genannt) und m der Exponent (seltener Hochzahl genannt).

Für Potenzen gelten folgende Rechenregeln:

• a^m+n = a^m×aⁿ;
• (a×b)^m = a^m×b^m;
• (a^m)ⁿ = a^m×n;
• wenn a > 1 und n < m, dann aⁿ < a^m.

Dabei ist die Schreibung stets so zu verstehen, dass, falls Klammern nichts anderes vorschreiben, die Potenzierung enger bindet als Punkt- oder Strichrechnung. Folglich bedeutet a×b³ so viel wie a×b×b×b und nicht etwa a×b×a×b×a×b.

1^m ist stets gleich 1. Naheliegenderweise versteht man unter a¹ einfach a. Ferner gilt per Definition a⁰ = 1, auch dann, wenn a = 0 ist; daher gilt 0^m = 0 nur, falls m > 0. Für Zahlen ungleich 0 definiert man außerdem a^-m = 1/(a^m). Dies ist die einzige Möglichkeit, negative Potenzen so zu definieren, dass die obigen Potenzrechenregeln für alle ganzen Zahlen m und n gelten (positive, negative und null).

Die Umkehroperation der Potenzierung mit dem Exponenten m wird als m-te Wurzel bezeichnet, d. h., die m-te Wurzel der Zahl a entspricht derjenigen Zahl b, die b^m = a erfüllt. Ist m eine gerade Zahl, macht diese Vorschrift nur für positives a einen Sinn; in diesem Fall ist b auch positiv zu wählen.

Die Potenzierungsoperation kann auf rationale Zahlen (Bruchzahlen) als Exponenten ausgeweitet werden, wobei die oben genannten Rechenregeln bestehen bleiben. Dies geht wieder nur auf eine Weise: Wenn m und n ganz sind, dann ist a^m/n die n-te Wurzel aus a^m. Außerdem kann (für positives a) die Operation auf reelle Zahlen als Exponenten ausgedehnt werden, wobei die Rechenregeln weiter bestehen. Daher lässt sich der Ausdruck a^x als Funktion von x auffassen, die Exponentialfunktion.