Grundlagen der Mathematik

1

Einleitung

Grundlagen der Mathematik, Untersuchung der Beziehungen zwischen Mengen, Größen und Eigenschaften sowie der logischen Operationen, aus denen unbekannte Mengen, Größen und Eigenschaften hergeleitet werden können.

In der Vergangenheit wurde die Mathematik als die Wissenschaft von Größen angesehen, sei es von Körpern oder Gebilden wie in der Geometrie, von Zahlen wie in der Arithmetik oder von der Gesamtheit dieser beiden Gebiete wie in der Algebra. Gegen Mitte des 19. Jahrhunderts sah man in der Mathematik immer mehr die Wissenschaft der mathematischen Beziehungen. Sie wurde u. a. auch als Wissenschaft notwendiger Schlussfolgerungen verstanden. Beide Ansichten umfassen die mathematische oder symbolische Logik. Herleitung und Schlüsse stützen sich dabei auf Definitionen, Axiome, Postulate und Vorschriften. Einfache Bestandteile lassen sich in komplexere Beziehungen und Sätze umformen. Besonders in der modernen Mathematik erkannte man den engen Zusammenhang zwischen der mathematischen Logik und der Axiomatik (siehe Axiom).

In diesem relativ kurzen Überblick der Mathematikgeschichte soll, in prähistorischer Zeit beginnend, die Entwicklung mathematischer Vorstellungen und Begriffe in groben Zügen dargestellt werden. Allgemeine Informationen bietet der Artikel Mathematik.

2

Frühgeschichte

Tatsächlich ist die Mathematik beinahe so alt wie die Menschheit selbst. Der prähistorische Mensch wurde u. a. durch zwei Bedürfnisse praktisch gezwungen sich mit Zahlen zu befassen. Das eine war die Anzahl von Dingen – z. B. Speere, Feuersteine, Jagdgefährten etc. Es gilt als fast sicher, dass primitive Systeme des Zählens die Finger einer oder beider Hände zur Grundlage hatten. Die Vorherrschaft der Zahlen 5 und 10 als Grundlage für die meisten heutigen Zahlensysteme sind möglicherweise die Folge. Bei dem zweiten Bedürfnis handelte es sich um das Schaffen von Ordnungen, wie z. B. die Einteilung der Jagdgefährten nach ihrer Jagderfahrung.

Was anfangs noch verbal vorgenommen wurde, hat man später in den unterschiedlichsten Formen niedergelegt. So entstanden die ersten Darstellungen von Zahlen – z. B. Kerbhölzer. Wissenschaftler aus verschiedenen Disziplinen haben außerdem in den Entwürfen prähistorischer Tonwaren, Textilien und in Höhlenmalereien (siehe paläolithische Kunst) Hinweise auf einen Sinn für Geometrie sowie Interesse für geometrische Muster entdeckt. Dass diese Muster wahrscheinlich auch mystische oder magische Bedeutungen hatten, bleibt im Bereich der Spekulationen.

3

Mathematik in Babylonien und Ägypten

Die frühesten Aufzeichnungen höherer, systematisierter Mathematik gehen auf das mesopotamische Land Babylonien und auf das Ägypten des 3. Jahrtausends v. Chr. zurück (siehe hierzu auch Ägypten: Geschichte). In jener Zeit beherrschte die Arithmetik das Geschehen in der Mathematik. In Ägypten wurden Zeichen für die Zahlen 10 und 100 eingeführt. Dadurch gelang die wesentlich einfachere Darstellung von großen Zahlen. Damals lag das besondere Interesse der Menschen auf dem Messen und Rechnen, vor allem auch auf Fragestellungen aus der Geometrie. Dies hatte natürlich unterschiedliche Gründe. Um die Bevölkerung einer großen Stadt mit genügend Nahrungsmitteln zu versorgen, musste man beispielsweise wissen, wann die Zeiten für die Saat und die Ernte am günstigsten sind. Außerdem zählte auch die Einteilung von Ackerland oder Ländereien zu den Grundbedürfnissen der Menschen. In einem erheblich bescheideneren Maß beschäftigte man sich mit Axiomen oder Beweisen. Sie rückten erst später, vor allem unter den Griechen der Antike, in den Mittelpunkt des Interesses.

In frühen ägyptischen Texten – aus der Zeit um 1800 v. Chr. – fanden Archäologen ein dezimales Nummerierungssystem mit getrennten Symbolen für die aufeinander folgenden Potenzen von 10 (1, 10, 100 usw.). Ein ähnliches System benutzten später auch die Römer. Einzelne Zahlen wurden dargestellt, indem man das Symbol für 1 so oft aufschrieb, wie Einer in der gegebenen Zahl enthalten waren, das Symbol für 10 so oft, wie Zehner enthalten waren usw. Addiert wurde, indem man getrennt die Einer, Zehner, Hunderter usw. in den zu addierenden Zahlen zusammenzählte. Die Multiplikation basierte auf sukzessivem (nacheinander) Verdoppeln. Die Division hatte ihre Grundlage in der Umkehrung der Multiplikation (siehe Arithmetik).

Die Ägypter verwendeten Summen von Einheitsbrüchen (1/N), ergänzt durch den Bruch um alle anderen Brüche darzustellen. Der Bruch 2/7 z. B. war die Summe der Brüche 1/4 und 1/28. Mit diesem System waren die Ägypter in der Lage, alle arithmetischen Probleme zu lösen, in denen Brüche eine Rolle spielten. Auch einige elementare Probleme der Algebra ließen sich anhand dieses Systems erklären. In der Geometrie gelangten die Ägypter zu korrekten Regeln: Diese ermöglichten ihnen, Flächeninhalte von Dreiecken, Rechtecken (siehe Parallelogramm) und Trapezen sowie die Volumina von Körpern wie Blöcken, Zylindern und natürlich auch von Pyramiden zu berechnen. Um den Flächeninhalt eines Kreises zu bestimmen, benutzten die Ägypter beispielsweise das Quadrat über 8/9 des Durchmessers des betrachteten Kreises. Dieser Wert (3,16) kam dem Wert der Kreiszahl Pi (p = 3,1415926…) schon erstaunlich nahe.

Das babylonische Zahlensystem unterschied sich von dem ägyptischen System. Im babylonischen System stand ein einfacher Keil für die 1 und ein pfeilförmiges Symbol für die 10 (siehe Keilschrift). Zahlen bis zu 59 wurden, wie bei dem ägyptischen System, durch additive Vorgehensweise mit diesen Zeichen dargestellt. Die Zahl 60 erhielt jedoch das gleiche Symbol wie die 1. Ab der Zahl 60 benutzten die Babylonier ein Positionensystem, d. h., der Wert einer der ersten 59 Zahlen hing von seiner Position in der Gesamtzahl ab. So bedeutete z. B. eine Folge, die aus dem Symbol für 2 bestand, gefolgt von einem Zeichen für die Zahl 27, und die mit einem Zeichen für die Zahl 10 endete, das Produkt für 2×60² + 27×60 + 10. Dieses Prinzip wurde auch auf die Darstellung von Brüchen angewandt. Demzufolge hätte die obige Zahlenfolge ebenso gut für die Gleichung 2×60 + 27 + 10×(1/60) oder 2 + 27×(1/60) + 10×(1/60)² stehen können. Mit diesem Sexagesimalsystem (Basis 60) hatten die Babylonier ein ebenso zweckmäßiges Darstellungsverfahren, wie die Ägypter mit dem Dezimalsystem (Basis 10) – Letzteres wird auch heute von vielen Kulturen verwendet. Siehe auch Zahlensystem

Die Babylonier entwickelten eine durchdachte Mathematik, mit deren Hilfe sie die positiven Lösungen beliebiger quadratischer Gleichungen finden konnten. Dies gelang ihnen auch bei einigen kubischen Gleichungen. Aus der Zeit der Babylonier stammen zahlreiche mathematische Rechentafeln. Zu diesen Tontafeln zählen u. a. Tafeln für die Multiplikation und Division, für Quadrierungen und solche für Zinseszinsen. In Babylonien kannte man bereits den pythagoreischen Lehrsatz, also fast 2 000 Jahre vor Pythagoras. Eine der babylonischen Rechentafeln enthielt ganzzahlige Lösungen der pythagoreischen Gleichung a² + b² = c². Sie war so geordnet, dass c²/a² langsam und stetig von 2 bis etwa 4/3 abnahm. Die babylonischen Gelehrten waren nicht nur in der Lage arithmetische und einige geometrische Reihen zu addieren, sie konnten damit auch quadratische Folgen berechnen. Auf diese Weise fanden sie beispielsweise eine recht gute Annäherung für Ã.

4

Mathematik des antiken Griechenlands

Die Griechen übernahmen Elemente der Mathematik sowohl von den Babyloniern als auch von den Ägyptern. Neu bei den Griechen war jedoch die Einführung einer abstrakten Mathematik, die sich auf logische Strukturen von Definitionen, Axiomen und Beweisen gründete. Späteren griechischen Berichten zufolge begann diese Entwicklung im 6. Jahrhundert v. Chr. mit Thales von Milet und Pythagoras von Samos. Pythagoras lehrte, wie wichtig es für das Verständnis der Welt sei, Zahlen zu untersuchen. Einige seiner Schüler machten wichtige Entdeckungen in der Theorie der Zahlen und der Geometrie, die alle Pythagoras zugeschrieben wurden.

Im 5. Jahrhundert v. Chr. befanden sich unter den bekannten Geometern der Atomist Demokrit von Abdera, der die richtige Formel für das Volumen einer Pyramide entdeckte, und Hippokrates von Kos. Hippokrates fand heraus, dass die Flächeninhalte von sichelförmigen Gebilden, deren Ränder Kreisbögen sind, gleich den Flächeninhalten bestimmter Dreiecke sind (Halbmonde des Hippokrates). Diese Entdeckung hängt mit dem berühmten Problem der Quadratur des Kreises zusammen. Im Prinzip versuchte man dabei mit Hilfe von Lineal und Zirkel ein Quadrat zu konstruieren, das den gleichen Flächeninhalt haben soll, wie ein vorgegebener Kreis (siehe geometrische Konstruktionen). Zwei weitere berühmte Aufgaben der klassischen griechischen Geometrie sind die Dreiteilung eines Winkels und die Verdoppelung eines Würfels – d. h. einen Würfel zu konstruieren, dessen Volumen doppelt so groß ist, wie das eines vorgegebenen Würfels. Für diese Probleme fanden die Griechen eine Vielzahl von Lösungsansätzen, wobei die Hilfsmittel üblicherweise nur Zirkel und Lineal waren. So versuchte man beispielsweise bei der Quadratur des Kreises, das Problem mit Hilfe von eingeschriebenen bzw. umschriebenen Vielecken zu meistern. Dieser Lösungsansatz veranlasste u. a. Archimedes (siehe unten), den Wert für die Kreiszahl Pi näherungsweise zu bestimmen.

Die Lösung dieser vier Aufgaben gelang den Griechen jedoch nicht. Erst über zweitausend Jahre später, im 19. Jahrhundert, wurde gezeigt, dass die beiden zuletzt genannten Probleme niemals mit Lineal und Zirkel allein hätten gelöst werden können. Wie man seit 1882 weiß ist die Quadratur des Kreises in der so genannten euklidischen Geometrie nicht möglich. Siehe auch Quadraturformeln

In der zweiten Hälfte des 5. Jahrhunderts v. Chr. fand ein unbekannter Mathematiker heraus, dass es keine Einheitslänge gibt, die sowohl die Seite als auch die Diagonale eines Quadrats angibt; d. h., die beiden Längen sind inkommensurabel. Folglich gibt es keine natürlichen Zahlen n und m, deren Quotient das Verhältnis einer Seite zur Diagonalen ausdrückt. Da die Griechen nur die natürlichen Zahlen (1, 2, 3 usw.) als Zahlen betrachteten, hatten sie keine Möglichkeit, dieses Verhältnis von Diagonale zu Seite numerisch auszudrücken. (Dieses Verhältnis, Ã, würde man heute irrational nennen.) Infolgedessen musste die Theorie des Pythagoras, eines auf Zahlen basierenden Verhältnisses, fallengelassen und eine neue, nichtnumerische Theorie entwickelt werden. Dies gelang dem Mathematiker Eudoxos von Knidos (4. Jahrhundert v. Chr.), dessen Lösung in dem Werk Die Elemente von Euklid (siehe unten) gefunden werden kann. Eudoxos fand auch eine Methode, mit der sich Aussagen über Flächeninhalte und Volumina durch sukzessive (nacheinander) Annäherungen streng beweisen lassen.