Koordinatensystem (Mathematik)

Koordinatensystem (Mathematik), System zum Kennzeichnen von Elementen einer Punktmenge. Diese Elemente werden mit Zahlen markiert, den Koordinaten. Sie geben die Position eines Punktes innerhalb der Menge an. Das System der Geographischen Breite und Länge ist ein Beispiel für ein Koordinatensystem, das zwei Koordinaten benutzt, um eine Position auf der Erdoberfläche zu bestimmen.

Das kartesische Koordinatensystem ist das gebräuchlichste. Ein zweidimensionales System besteht aus einem Paar von Geraden auf einer Ebene, die sich rechtwinklig schneiden. Jede dieser Geraden heißt Achse, und ihr Schnittpunkt heißt der Ursprung. Die Achsen werden üblicherweise waagrecht und senkrecht gezeichnet und x- bzw. y-Achse genannt. Im kartesischen Koordinatensystem befindet sich ein Punkt mit den Koordinaten (2, 3) zwei Einheiten rechts von der y-Achse und drei Einheiten oberhalb der x-Achse, wie in Abbildung 1 dargestellt. Beim dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystem wird die z-Achse hinzugefügt. Hier stehen alle drei Achsen senkrecht aufeinander.

Im Polarkoordinatensystem werden jedem Punkt die Koordinaten (r, θ) bezüglich einer festen Geraden namens Achse oder Nullrichtung und des Anfangspunktes der Achse namens Pol zugeordnet. Für einen Punkt in der Ebene bezeichnet die r-Koordinate den Abstand des Punktes zum Pol. Die θ-Koordinate gibt den gegen den Uhrzeigersinn gemessenen Winkel zwischen der Achse und einer Geraden, die den Pol mit dem Punkt verbindet (s. Abb. 2). Zum Beispiel ist ein Punkt mit den Polarkoordinaten (1, p/2) eine Einheit vom Pol entfernt und bildet einen Winkel von p/2 Radianten oder 90 Grad mit der Achse. Zylinder- und Kugelkoordinaten sind zwei verschiedene Erweiterungen der Polarkoordinaten auf drei Dimensionen.

Die Koordinaten eines Punktes oder einer Punktmenge eines Koordinatensystems sind gewöhnlich in diejenigen eines anderen übertragbar. Wenn z. B. die Achse und der Pol eines Polarkoordinatensystems der x-Achse und dem Ursprung eines kartesischen Koordinatensystems entsprechen, so befindet sich der Punkt mit den Polarkoordinaten (1, p/2) eine Einheit direkt über dem Ursprung und erhält die kartesischen Koordinaten (0, 1). Analog entspricht ein Punkt mit den Polarkoordinaten (Ã, • p) demjenigen mit den kartesischen Koordinaten (-1, 1).

Polarkoordinaten sind besonders wichtig beim Zeichnen von Funktionen, die durch ihren Abstand von einem festen Punkt definiert sind. Die Gleichung eines Kreises vom Radius d in kartesischen Koordinaten ausgedrückt ist x² + y² = d². In Polarkoordinaten hat ein Kreis vom Radius d die einfachere Form r = d.

Siehe Koordinatensystem (Astronomie)