Polyeder

Polyeder, in der Geometrie ein Körper, der durch ebene Flächen begrenzt ist, die ihrerseits durch gerade Seitenlinien begrenzt sind. Jede der ebenen Flächen heißt eine Seite. Eine gerade Seitenlinie, die eine Seite begrenzt, heißt eine Kante. Ein Punkt am Ende einer Kante heißt eine Ecke. Abbildung 1 zeigt als Beispiel eines Polyeders eine Pyramide mit einer quadratischen Grundfläche und vier dreieckigen Seiten.

In einem regelmäßigen Polyeder sind alle Flächen regelmäßige Vielecke, die kongruent zueinander sind (von gleicher Größe und Form). Die einzigen regelmäßigen Polyeder sind die fünf in Abbildung 2 gezeigten: Das Tetraeder mit vier dreieckigen Seiten, der Würfel mit sechs quadratischen Seiten, das Oktaeder mit acht dreieckigen Seiten, das Dodekaeder mit zwölf regelmäßigen Fünfecken als Seiten und das Ikosaeder mit 20 dreieckigen Flächen. Diese fünf werden nach dem griechischen Philosophen Platon auch platonische Körper genannt.

Bei einem konvexen Polyeder enthält eine Strecke, die zwei beliebige Ecken des Polyeders miteinander verbindet, nur Punkte, die auf einer Seite oder im Inneren des Polyeders liegen. Das Verhältnis zwischen der Anzahl der Ecken e, der Anzahl der Seiten f und der Anzahl der Kanten k ist durch e + f - k = 2 gegeben. Der Würfel z. B. hat acht Ecken, sechs Seiten und zwölf Kanten, womit man 8 + 6 - 12 = 2 erhält. Der Wert von e + f - k für ein beliebiges Polyeder heißt die Euler’sche Charakteristik der Oberfläche des Polyeders, bezeichnet nach dem Schweizer Mathematiker Leonhard Euler. Sie kann für allgemeine Polyeder mit Hilfe der Methoden der algebraischen Topologie, eines Zweiges der Mathematik, berechnet werden.