Schrödinger-Gleichung

Schrödinger-Gleichung, Bezeichnung für die erstmals von Erwin Schrödinger (1887-1961) 1926 aufgestellte Formel, welche das zeitliche Verhalten der Wellenfunktion beschreibt. Sie ist die Grundgleichung der Quantenmechanik.

In allgemeiner Schreibweise lautet sie

(ih/2p) ∂ψ(t)/∂t = H ψ(t)

Der Buchstabe ψ bezeichnet hierbei die Wellenfunktion, der Buchstabe h ist das Planck’sche Wirkungsquantum. Auf der linken Seite der Gleichung steht bis auf einen Faktor die zeitliche Änderung dieser Wellenfunktion. Die rechte Seite gibt an, auf welche Weise sich der Wert der linken Seite aus der aktuellen Wellenfunktion ergibt, indem man auf ψ(t) den so genannten Hamilton-Operator H anwendet. Schrödingers ursprüngliche Fassung lautet

(ih/2p) ∂ψ(x,t)/∂t = -(h2/8mp2) ∂2ψ(x,t)/∂2 + V(x) ψ(x,t).

Modernere Fassungen setzen für H einen anderen Operator an. Die Schrödinger-Gleichung ist eine Differentialgleichung erster Ordnung in der Zeit, auch Evolutionsgleichung (Zeitentwicklungsgleichung) genannt. Das bedeutet, dass man mit ihrer Hilfe die Wellenfunktion für jeden späteren oder früheren Zeitpunkt bestimmen kann, wenn man sie für einen Zeitpunkt kennt.

Die Wellenfunktion wird zur Beschreibung des Zustandes des Teilchens benutzt, was aber nicht heißt, dass sie der Zustand IST, denn das führt auf das Paradoxon von Schrödingers Katze. Möglicherweise ist die Wellenfunktion nur eine Teilinformation über den Zustand; diese Frage ist bis heute umstritten. Auf alle Fälle gibt das Quadrat des Betrages, also |ψ(x,t)|², die Wahrscheinlichkeit an, das Teilchen zur Zeit t am Ort x zu finden.

Für die Beschreibung von mehreren Teilchen benutzt man nicht für jedes Teilchen eine eigene Wellenfunktion, sondern für das Gesamtsystem eine einzige Wellenfunktion, die von der Konfiguration, d. h. den Positionen aller Teilchen, abhängt, ψ(x₁, x₂,…,x_n, t).

Das Quadrat des Betrages, also |ψ(x₁, x₂,…,x_n, t)|² gibt die Wahrscheinlichkeit an, das Teilchen 1 zur Zeit t am Ort x₁ und gleichzeitig das Teilchen 2 am Ort 2 etc. zu finden. Wenn die Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Teilchens vom Ort eines anderen Teilchens abhängt, spricht man von einem verschränkten Zustand. Wenn quantenmechanische Teilchen weitere Freiheitsgrade besitzen, beispielsweise Spin, kommen weitere Variablen zu den Positionen hinzu.

Ein wichtiger Spezialfall der Schrödinger-Gleichung ist die so genannte stationäre Schrödinger-Gleichung. Sie beschreibt stationäre Systeme, d. h. Systeme, in welchen sich das Teilchen auf periodische Weise bewegt. Beispiel hierfür ist das Wasserstoffatom, dessen Energiespektrum Erwin Schrödinger 1926 anhand der stationären Schrödinger-Gleichung erstmals quantenmechanisch berechnen konnte.

In üblicher Schreibweise lautet die stationäre Schrödinger-Gleichung

E ψ = H ψ

Der Buchstabe E bezeichnet hierbei die Energie der betrachteten stationären Wellenfunktion. Indem man mathematisch berechnet, für welche Werte von E die Gleichung Lösungen besitzt, erhält man die Energiewerte aller stationären Zustände, das so genannte Energiespektrum. Eine derartige Gleichung nennt man mathematisch eine Eigenwert-Gleichung, und E den Eigenwert. Wenn man beispielsweise für H den Hamilton-Operator des Coulomb-Potentials einsetzt, kann man daraus alle möglichen Energiewerte E des Wasserstoffatoms berechnen.